Изучение свойств фигур в пространстве и на плоскости невозможно без знания расстояний между точкой и такими геометрическими объектами, как прямая и плоскость. В данной статье покажем, как находить эти расстояния, рассматривая проекцию точки на плоскость и на прямую.
Уравнение прямой для двумерного и трехмерного пространств
Расчет расстояний точки до прямой и плоскости осуществляется с использованием ее проекции на эти объекты. Чтобы уметь находить эти проекции, следует знать, в каком виде задаются уравнения для прямых и плоскостей. Начнем с первых.
Прямая представляет собой совокупность точек, каждую из которых можно получить из предыдущей с помощью переноса на параллельные друг другу вектора. Например, имеется точка M и N. Соединяющий их вектор MN¯ переводит M в N. Имеется также третья точка P. Если вектор MP¯ или NP¯ параллелен MN¯, тогда все три точки на одной прямой лежат и образуют ее.
В зависимости от размерности пространства уравнение, задающее прямую, может изменять свою форму. Так, всем известная линейная зависимость координаты y от x в пространстве описывает плоскость, которая параллельна третьей оси z. В связи с этим в данной статье будем рассматривать только векторное уравнение для прямой. Оно имеет одинаковый вид для плоскости и трехмерного пространства.
В пространстве прямую можно задать следующим выражением:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a; b; c)
Здесь значения координат с нулевыми индексами соответствуют принадлежащей прямой некоторой точки, u¯(a; b; c) - координаты направляющего вектора, который лежит на данной прямой, α - произвольное действительное число, изменяя которое можно получить все точки прямой. Это уравнение называется векторным.
Часто приведенное уравнение записывают в раскрытом виде:
x= x0 + α*a;y= y0 + α*b;z= z0 + α*c
Аналогичным образом можно записать уравнение для прямой, находящейся в плоскости, то есть в двумерном пространстве:
(x; y) = (x0; y0 ) + α*(a; b);x= x0 + α*a;y= y0 + α*b
Уравнение плоскости
Чтобы уметь находить расстояние от точки до плоскостей проекций, необходимо знать, как задается плоскость. Так же, как и прямую, ее можно представить несколькими способами. Здесь рассмотрим один единственный: общее уравнение.
Предположим, что точка M(x0; y0; z0) плоскости принадлежит, а вектор n¯(A; B; C) ей перпендикулярен, тогда для всех точек (x; y; z) плоскости справедливым будет равенство:
A*x + B*y + C*z + D = 0, где D = -1*(A*x0 + B*y0 + C*z0)
Следует запомнить, что в этом общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C являются координатами нормального к плоскости вектора.
Расчет расстояний по координатам
Перед тем как переходить к рассмотрению проекций на плоскость точки и на прямую, следует напомнить, как следует рассчитывать расстояние между двумя известными точками.
Пусть имеются две пространственные точки:
A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2)
Тогда дистанция между ними вычисляется по формуле:
A1A2 = √( (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2)
С помощью этого выражения также определяют длину вектора A1A2¯.
Для случая на плоскости, когда две точки заданы всего парой координат, можно записать аналогичное равенство без присутствия в нем члена с z:
A1A2 = √( (x2-x1)2+(y2-y1)2)
Теперь рассмотрим различные случаи проекции на плоскости точки на прямую и на плоскость в пространстве.
Точка, прямая и расстояние между ними
Предположим, что имеется некоторая точка и прямая:
P2(x1; y1);(x; y) = (x0; y0) + α*(a; b)
Расстояние между этими геометрическими объектами будет соответствовать длине вектора, начало которого лежит в точке P2, а конец находится в такой точке P на указанной прямой, для которой вектор P2P ¯ этой прямой перпендикулярен. Точка P называется проекцией точки P2 на рассматриваемую прямую.
Ниже приведен рисунок, на котором изображена точка P2, ее расстояние d до прямой, а также вектор направляющий v1¯. Также на прямой выбрана произвольная точка P1 и от нее до P2 проведен вектор. Точка P здесь совпадает с местом, где перпендикуляр пересекает прямую.
Видно, что оранжевые и красные стрелки образуют параллелограмм, сторонами которого являются вектора P1P2¯ и v1¯, а высотой - d. Из геометрии известно, что для нахождения высоты параллелограмма следует разделить его площадь на длину основания, на которое опущен перпендикуляр. Поскольку площадь параллелограмма вычисляется как векторное произведение его сторон, то получаем формулу для расчета d:
d = |[P1P2¯*v1¯]|/|v1¯|
Все вектора и координаты точек в этом выражении известны, поэтому можно им пользоваться без выполнения каких-либо преобразований.
Решить эту задачу можно было бы иначе. Для этого следует записать два уравнения:
- скалярное произведение P2P ¯ на v1¯ должно равняться нулю, поскольку эти вектора взаимно перпендикулярны;
- координаты точки P должны удовлетворять уравнению прямой.
Этих уравнений достаточно, чтобы найти координаты P, а затем и длину d по формуле, приведенной в предыдущем пункте.
Задача на нахождение дистанции между прямой и точкой
Покажем, как использовать данные теоретические сведения для решения конкретной задачи. Допустим, известны следующая точка и прямая:
M(5; -3);(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)
Необходимо найти точки проекции на прямую на плоскости, а также расстояние от M до прямой.
Обозначим проекцию, которую следует найти, точкой M1(x1; y1). Решим эту задачу двумя способами, описанными в предыдущем пункте.
Способ 1. Направляющий вектор v1¯ координаты имеет (0; 2). Чтобы построить параллелограмм, выберем принадлежащую прямой какую-нибудь точку. Например, точку с координатами (3; 1). Тогда вектор второй стороны параллелограмма будет иметь координаты:
(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)
Теперь следует вычислить произведение векторов, задающих стороны параллелограмма:
[(2; -4)*(0; 2)] = 4
Подставляем это значение в формулу, получаем расстояние d от M до прямой:
d = 4/√4 = 2
Способ 2. Теперь найдем другим способом не только расстояние, но и координаты проекции M на прямую, как это требует условие задачи. Как было сказано выше, для решения задачи необходимо составить систему уравнений. Она примет вид:
(x1-5)*0+(y1+3)*2 = 0;(x1; y1) = (3; 1)-α*(0; 2)
Решаем эту систему:
y1 = -3;x1 = 3
Проекция исходной точки координаты имеет M1(3; -3 ). Тогда искомое расстояние равно:
d = |MM1¯| = √(4+0) = 2
Как видим, оба способа решения дали одинаковый результат, что говорит о правильности выполненных математических операций.
Проекция точки на плоскость
Теперь рассмотрим, что представляет собой проекция точки, заданной в пространстве, на некоторую плоскость. Несложно догадаться, что этой проекцией также является точка, которая вместе с исходной образует перпендикулярный плоскости вектор.
Предположим, что проекция на плоскость точки М координаты имеет следующие:
M1(x1; y1; z1)
Сама плоскость описывается уравнением:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Исходя из этих данных, мы можем составить уравнение прямой, пересекающей плоскость под прямым углом и проходящей через M и M1:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(A; B; C)
Здесь переменные с нулевыми индексами - координаты точки M. Рассчитать положение на плоскости точки M1 можно исходя из того, что ее координаты должны удовлетворять обоим записанным уравнениям. Если этих уравнений при решении задачи будет недостаточно, то можно использовать условие параллельности MM1¯ и вектора направляющего для заданной плоскости.
Очевидно, что проекция точки, принадлежащей плоскости, совпадает сама с собой, а соответствующее расстояние равно нулю.
Задача с точкой и плоскостью
Пусть дана точка M(1; -1; 3) и плоскость, которая описывается следующим общим уравнением:
-x + 3*y -2*z + 4 = 0
Следует вычислить координаты проекции на плоскость точки и рассчитать расстояние между этими геометрическими объектами.
Для начала построим уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной указанной плоскости. Оно имеет вид:
(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)
Обозначим точку, где эта прямая пересекает плоскость, M1. Равенства для плоскости и прямой должны выполняться, если в них подставить координаты M1. Записывая в явном виде уравнение прямой, получаем следующие четыре равенства:
-x1 + 3*y1 -2*z1 + 4 = 0;x1 = 1 - α;y1 = -1 + 3*α;z1 = 3 - 2*α
Из последнего равенства получим параметр α, затем подставим его в предпоследнее и во второе выражение, получаем:
α = (3-z1)/2;y1 = -1 + 3*(3-z1)/2 = -3/2*z1 + 3,5;x1 = 1 - (3-z1)/2 = 1/2*z1 - 1/2
Выражение для y1 и x1 подставим в уравнение для плоскости, имеем:
-1*(1/2*z1 - 1/2) + 3*(-3/2*z1 + 3,5) -2*z1 + 4 = 0
Откуда получаем:
z1 = 15/7
Тогда:
y1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;x1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7
Мы определили, что проекция точки M на заданную плоскость соответствует координатам (4/7; 2/7; 15/7).
Теперь рассчитаем расстояние |MM1¯|. Координаты соответствующего вектора равны:
MM1¯(-3/7; 9/7; -6/7)
Искомое расстояние равно:
d = |MM1¯| = √126/7 ≈ 1,6
Три точки проекции
Во время изготовления чертежей часто приходится получать проекции сечений на взаимно перпендикулярные три плоскости. Поэтому полезно рассмотреть, чему будут равны проекции некоторой точки M с координатами (x0; y0; z0) на три координатные плоскости.
Не сложно показать, что плоскость xy описывается уравнением z = 0, плоскость xz соответствует выражению y = 0, а оставшаяся плоскость yz обозначается равенством x = 0. Нетрудно догадаться, что проекции точки на 3 плоскости будут равны:
для x = 0: (0; y0; z0);для y = 0: (x0; 0 ; z0);для z = 0: (x0; y0; 0 )
Где важно знать проекции точки и ее расстояния до плоскостей?
Определение положения проекции точек на заданную плоскость важно при нахождении таких величин, как площадь поверхности и объем для наклонных призм и пирамид. Например, расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания является высотой. Последняя входит в формулу для объема этой фигуры.
Рассмотренные формулы и методики определения проекций и расстояний от точки до прямой и плоскости являются достаточно простыми. Важно лишь запомнить соответствующие формы уравнений плоскости и прямой, а также иметь хорошее пространственное воображение, чтобы успешно их применять.
А ЧТО ВЫ ДУМАЕТЕ ОБ ЭТОМ?