Стереометрия - важный раздел геометрии, объектом изучения которого являются свойства и характеристики фигур в трехмерном пространстве. В этой статье рассмотрим одну из таких объемных фигур. Познакомимся подробнее с вопросом, что такое конус.
Фигура конус
Приведем максимально общее определение конуса. Под этой фигурой понимают поверхность, которая образована в результате соединения прямыми отрезками некоторой точки пространства со всеми точками данной кривой. При этом указанная точка в пространстве не должна находиться в плоскости кривой. Например, если кривая будет иметь форму параболы, то полученная описанным способом фигура будет называться параболическим конусом, если кривая - эллипс, то конус будет эллиптическим, и так далее.
Дав геометрическое определение, что такое конус, приведем фото, которое показывает наглядно возможные формы этой фигуры.
Взглянув на это фото, многие увидели в нем форму детской шапки, которую носил Буратино, вафельный стаканчик от мороженого в виде рожка или предупредительный оранжево-черный полосатый дорожный конус.
Геометрические элементы, составляющие конус
Чтобы лучше понимать вопрос, что такое конус, следует привести геометрические названия элементов этой пространственной фигуры.
Конус ограничен двумя поверхностями. Первая называется основанием. Она представляет собой плоскость, которая ограничена отмеченной выше кривой. Например, это может быть круг или эллипс. Вторая поверхность является боковой для фигуры и называется конической. Она не лежит в одной плоскости, однако может быть развернута в плоскую фигуру, о чем будет сказано ниже.
Одним из важных элементов конуса является его вершина. Эта точка ограничивает коническую поверхность. С ней соединяются все точки кривой основания.
Отрезок, который вершину соединяет с основанием, называется генератрисой, или образующей конуса. В свою очередь, кривая, ограничивающая основание, получила название директрисы, или направляющей фигуры.
Площади конической поверхности и основания в сумме дают общую площадь конуса. Объем пространства, который ограничивают указанные две поверхности, является объемом конуса.
Круглый прямой конус и его линейные характеристики
Выше было дано общее определение, что такое конус. Тем не менее часто на практике и в геометрических задачах встречается конкретный вид этой фигуры - прямой круглый конус. Он изображен ниже на рисунке.
Основанием этой фигуры является круг. Прямым он называется потому, что перпендикуляр, опущенный на его основания с высоты, будет пересекать круг точно в его центре. Если бы это условие не выполнялось, тогда можно говорить о наклонном конусе.
Линия, которая соединяет вершину с центром круга, называется осью фигуры. Она также является осью вращения конуса. Действительно, если взять прямоугольный треугольник и начать вращать его вокруг одного из катетов, то полученная в результате вращения фигура будет конусом прямым с круглым основанием. Этот способ получения конуса схематически показан ниже на рисунке.
Видно, что образующая будет равна длине гипотенузы треугольника. Катет, вокруг которого осуществлялось вращение, станет высотой для объемной фигуры, а второй катет будет равен радиусу конуса (радиус круглого основания).
Одной из важных особенностей рассматриваемой фигуры является то, что длины всех образующих для нее равны друг другу. Этот факт позволяет, пользуясь теоремой Пифагора, записать математическую связь между тремя основными линейными параметрами фигуры:
g2 = r2 + h2
Квадрат генератрисы g прямого круглого конуса равен сумме квадратов его радиуса r и высоты h.
Разобрав вопрос, что такое конус прямой с круглым основанием, покажем, как можно площадь его поверхности и объем.
Определение площади поверхности
Как уже отмечалось, поверхность фигуры образована конической поверхностью и плоским основанием. Чему равна их площадь? С уверенностью ответить на этот вопрос можно, если посмотреть на плоскую развертку круглого конуса. Отрезая основание от боковой поверхности, и разрезая последнюю вдоль образующей, мы получим следующий результат.
С определением площади круга нет никаких проблем. Формула для его площади знакома каждому школьнику. Запишем ее:
So = pi*r2
Символ So - это площадь основания фигуры.
Боковая поверхность конуса на плоской развертке представлена круговым сектором, радиус которого равен длине образующей, а длина дуги, на которую сектор опирается, равна длине окружности основания. Эти данные позволяют однозначно определить площадь сектора. Не будем приводить промежуточные выкладки получения формулы для площади Sb боковой поверхности конуса. Запишем конечный результат:
Sb = pi*g*r
Поскольку генератриса g всегда больше радиуса r, то площадь боковой поверхности фигуры будет при любых параметрах превышать таковую для основания.
Формула для общей площади принимает вид:
S = So + Sb = pi*r*(r + g)
Определение объема фигуры
Читатели могли заметить, что форма конуса напоминает чем-то пирамиду, только его боковая поверхность является гладкой, а не ребристой, как у пирамиды. Эта аналогия имеет геометрическое обоснование, поскольку увеличение числа боковых граней пирамиды до бесконечности, переводит ее в конус. Этот факт позволяет записать для объема конуса точно такую же формулу, как для объема пирамиды. Имеем:
V = 1/3*h*So
Отметим, что не важно, какая замкнутая кривая образует основание конуса, также не важно, является фигура прямой или наклонной, формула будет справедлива во всех этих случаях.
Для конуса круглого выражение для V приобретает конкретный вид:
V = 1/3*pi*r2*h
Задача на определение площади конуса через его объем
Покажем, как пользоваться записанными формулами.
Предположим, что объем круглого конуса прямого равен 50 см3. Необходимо рассчитать площадь его поверхности, если радиус r в три раза меньше высоты h.
Запишем формулу для объема и связь высоты h с радиусом r в соответствии с условием задачи:
V = 1/3*pi*r2*h;h = 3*r.
Из этих уравнение получаем:
V = 1/3*pi*r2*3*r =>r = ∛(V/pi) ≈ 2,516 см;h = 3*∛(V/pi) ≈ 7,547 см.
Полученные значения позволяют вычислить длину генератрисы g конуса:
g = √(h2 + r2) = 7,955 см.
Формула для площади поверхности фигуры имеет вид:
S = pi*r*(r + g)
Мы определили все необходимые величины (r и g). Подставляя их численные значения в равенство, получаем ответ: S = 82,72 см2.
А ЧТО ВЫ ДУМАЕТЕ ОБ ЭТОМ?